会积分才能免费上网?

某学校食堂为学生提供免费的无线网络,网络的密码是这道定积分试题的答案取前10位数字。

免费无线网络的密码居然是定积分!

这道题怎么做呢?

【分析】

这是道小题(在试卷上以选择题或填空题的形式出现,不要求写出完整解答过程,只要求写出答案),被积函数很复杂,而且积分区间关于 0 对称。

这就提醒我们,可能存在捷径,要先分析被积函数每一项的奇偶性,根据奇函数在关于 0 对称的区间上的定积分为 0 的性质,化简这个函数。显然,y=x3y=x^3 是奇函数,因此,含有 x3x^3 的项,定积分都是 0。

【解】

令原式为 II,则有

I=22(x3cosx2+12)4x2dx=22(x3cosx24x2+124x2)dx=22x3cosx24x2dx+22124x2dx\begin{aligned} I&=\int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\right)\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x+\int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x \end{aligned}

注意到 y=x3y=x^3 是奇函数,它在区间 [2,2][-2,2] 上的定积分为 0,

所以 22x3cosx24x2dx=0\displaystyle \int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x=0

于是 I=22124x2dx\displaystyle I=\int_{-2}^2 \frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x

注意到被积函数 y=124x2(x[2,2])\displaystyle y=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} \quad \left(x\in[-2,2]\right)

恰好是椭圆 C:x24+y2=1\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1 的上半部分。

椭圆

定积分 II 的几何意义是椭圆上半部分与 xx 轴围成的图形的面积,

恰好是椭圆面积 SCS_C 的一半,

所以有 I=12SC=12πab=12×π×2×1=π\displaystyle I=\frac{1}{2}S_C=\frac{1}{2}\pi{ab}=\frac{1}{2}\times\pi\times2\times1=\pi

答案是 π\pi ,所以,密码是 π\pi 的前 10 位数字:3141592653。

【对椭圆面积公式不熟悉也没关系】

我们得到 I=22124x2dx=12224x2dx\displaystyle I=\int_{-2}^2 \frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x=\frac{1}{2}\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\text{d}x

注意到被积函数 y=4x2(x[2,2])\displaystyle y=\sqrt{4-x^2} \quad \left(x\in[-2,2]\right)

恰好是圆 C:x2+y2=4\displaystyle C: x^2+y^2=4 的上半部分,r=2r=2

定积分 224x2dx\displaystyle \int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\text{d}x 的几何意义是圆上半部分与 xx 轴围成的图形的面积,

恰好是圆面积 SCS_C 的一半,即 12πr2=12×π×4=2π\displaystyle \frac{1}{2}\pi r^2=\frac{1}{2}\times\pi\times4=2\pi,

所以有 I=12224x2dx=12×2π=π\displaystyle I=\frac{1}{2}\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\text{d}x=\frac{1}{2}\times2\pi=\pi

【点评】

这种解法体现了数形结合的思想。首先,注意到积分区间关于原点对称,根据奇函数在关于 0 对称的区间上的定积分为 0 的性质化简被积函数;其次,根据定积分的几何意义,把积分问题转化成椭圆或者圆的面积问题,避免了复杂计算。

【另一种解法】

我们也可以根据牛顿—莱布尼茨公式直接计算。

 22(x3cosx2+12)4x2dx=22(x3cosx24x2+124x2)dx=22x3cosx24x2dx+22124x2dx=0+22124x2dx\begin{aligned} &\quad\ \int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\right)\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x+\int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=0+\int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x \end{aligned}

x=2sintt[π2,π2]\displaystyle x=2 \sin t \text{,} t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],则有

 22124x2dx=π2π21244sin2t2cost dt=π2π22cos2t dt=π2π2(cos2t+1)dt=12(sin2t+2t)π2π2=π\begin{aligned} &\quad\ \int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{4-4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \ \text{d}t\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 t\ \text{d}t\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos 2t+1\right)\text{d}t\\ &=\frac{1}{2}\left(\sin 2t+2t \right)\bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\pi \end{aligned}

图片版权

头图:Image by Erika Varga from Pixabay


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会积分才能免费上网?
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作者
Kukmoon谷月
发布于
2021年11月6日
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