立体几何和平面几何发生了关系,怎么办?

好多年前,谷月姐刷推特时,看到一个日本高中生贴了一道数学题求助。

【原题】

四面体 OABCOABC において。OABCOA \perp BCOBACOB \perp AC であろとする。このとき、次のことを証明せよ。

  1. OO から平面 ABCABC に下るけ垂線の足 HH は。

  2. OCABOC \perp AB

图1

【分析】

很明显,这是一道立体几何与平面几何的综合题,把平面几何问题融入立体几何之中。它考查了线线垂直、线面垂直、三角形的垂心定理。

在中国,这样综合考查立体几何和平面几何的高中数学题比较少见。

【翻译与证明】

谷月姐在此处试翻译并证明如下。(毕竟谷月姐的日语水平还达不到用日语做数学题的地步)

已知在四面体 OABCOABC 中,有 OABCOA \perp BCOBACOB \perp AC,证明下列命题。

  1. OO 作平面 ABCABC 的垂线,垂足 HHABC\triangle ABC的垂心。
  2. OCABOC \perp AB

图2

证法一:

  1. OOOHOH \perp 平面 ABCABC,垂足为 HH
    连结 AHAH 并延长,交 BCBCMM
    显然,OAOA 在平面 ABCABC 上的射影是 AMAM
    OABCOA \perp BC
    ∴ 由三垂线定理的逆定理可知,AMBCAM \perp BC,即 AMAMABC\triangle ABC 的高。
    连结 BHBH 并延长,交 ACACNN,类似地,可以证得 BNBN 也是 ABC\triangle ABC 的高。
    CCCPABCP \perp AB
    AMBNAM \text{、} BN 都是 ABC\triangle ABC 的高,而且交于点 HH
    ∴ 由三角形的垂心定理可知,CPCP 过点 HH,且 HHABC\triangle ABC 的垂心。
  2. OHOH \perp 平面 ABCABC,∴ OCOC 的射影是 CPCP
    又 ∵ CPABCP \perp AB ,由三垂线定理可知,OCABOC \perp AB

证法二(不使用三垂线定理及其逆定理):

因为三垂线定理及其逆定理已经从中国高考数学考试大纲中删除,所以写一个比较麻烦的证法,说穿了就是翻来覆去利用线面垂直关系做文章。

  1. OOOHOH \perp 平面 ABCABC,垂足为 HH
    连结 AHAH 并延长,交 BCBCMM
    OHOH \perp 平面 ABCABC,且 BCBC \subset 平面 ABCABC,∴ OHBCOH \perp BC
    又 ∵ OABCOA \perp BC,∴ BCBC \perp 平面 OAHOAH
    AMAM \subset 平面 OAHOAH,∴ BCAMBC \perp AM,即 AMAMABC\triangle ABC 的高。
    连结 BHBH 并延长,交 ACACNN,类似地,可以证得 BNBN 也是 ABC\triangle ABC 的高。
    CCCPABCP \perp AB
    AMAMBNBN 都是 ABC\triangle ABC 的高,而且交于点 HH
    ∴ 由三角形垂心定理可知,CPCP 过点 HH,且 HHABC\triangle ABC 的垂心。
  2. OHOH \perp 平面 ABCABC,且 ABAB \subset 平面 ABCABC,∴ OHABOH \perp AB
    又 ∵ CPABCP \perp AB,∴ ABAB \perp 平面 OCHOCH
    又 ∵ OCOC \subset 平面 OCHOCH,∴ OCABOC \perp AB

证法 3:向量法

感谢知乎大佬 @大魔导师 提供。

这种证法是先证第 2 问,再证第 1 问的。

第2问:注意到恒等式 a(bc)+c(ab)+b(ca)=0\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\right)+\boldsymbol{c}\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)+\boldsymbol{b}\left(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\right)=0

a=OA\boldsymbol{a}=\vec{OA}b=OB\boldsymbol{b}=\vec{OB}c=OC\boldsymbol{c}=\vec{OC}

OA(OBOC)+OC(OAOB)+OB(OCOA)=0\vec{OA}\left(\vec{OB}-\vec{OC}\right)+\vec{OC}\left(\vec{OA}-\vec{OB}\right)+\vec{OB}\left(\vec{OC}-\vec{OA}\right)=0

OACB+OCBA+OBAC=0\vec{OA}\cdot\vec{CB}+\vec{OC}\cdot\vec{BA}+\vec{OB}\cdot\vec{AC}=0

由题意,OACB=OBAC=0\vec{OA}\cdot\vec{CB} = \vec{OB}\cdot\vec{AC} =0

OCBA=0\vec{OC}\cdot\vec{BA} = 0,即 OCABOC \perp AB

第1问:过 OOOHOH \perp 平面 ABCABC,垂足为 HH

则有 OHABOH \perp ABOHBCOH \perp BCOHACOH \perp AC

连结 AHAHBHBHCHCH,则有:

AHBC=(OHOA)BC=OHBCOABC=0\vec{AH}\cdot\vec{BC}=\left(\vec{OH}-\vec{OA}\right)\cdot\vec{BC}=\vec{OH}\cdot\vec{BC}-\vec{OA}\cdot\vec{BC}=0

BHAC=(OHOB)AC=OHACOBAC=0\vec{BH}\cdot\vec{AC}=\left(\vec{OH}-\vec{OB}\right)\cdot\vec{AC}=\vec{OH}\cdot\vec{AC}-\vec{OB}\cdot\vec{AC}=0

CHAB=(OHOC)AB=OHABOCAB=0\vec{CH}\cdot\vec{AB}=\left(\vec{OH}-\vec{OC}\right)\cdot\vec{AB}=\vec{OH}\cdot\vec{AB}-\vec{OC}\cdot\vec{AB}=0

AHBCAH \perp BCBHACBH \perp ACCHACCH \perp AC

∴ 由三角形垂心定理可知, HHABC\triangle ABC 的垂心。

图片版权

头图:Image by Erika Varga from Pixabay


求扫码打赏
“我这么可爱,请给我钱 o(*^ω^*)o”

立体几何和平面几何发生了关系,怎么办?
https://blog.kukmoon.com/0c5badbabf02/
作者
Kukmoon谷月
发布于
2021年11月6日
许可协议