诸子聚会考数学

谷月姐见到一道特别有趣的数学题：诸子聚会算座次排法。花了一点功夫查询相关信息，把它解了出来。

【预备知识】

• 许行：农家。
• 慎到：道家、法家。
• 公孙龙：名家。
• 申不害：法家。
• 孔丘：儒家。
• 李耳：道家。
• 惠施：名家。
• 杨朱：道家。
• 墨翟：墨家。

【解析】

公孙龙和惠施都是名家，必须坐在一起，座次随意；李耳、杨朱是道家，申不害是法家，而慎到既是道家又是法家，这样，这四个人必须坐在一起，座次随意。

下面开始排座次。

从 9 个座位中取出 4 个连续的座位和另外 2 个连续的座位，穷举一下，有 4+3+3+3+3+4=20 种取法。

把四个连续的座位安排给李耳、杨朱、慎到、申不害四人，这四人的座次安排是一个全排列，因此有 4!=24 种排法。

把两个连续的座位安排给公孙龙和惠施两人，这两人的座次安排也是一个全排列，因此有 2!=2 种排法。

剩下三个座位，给三个人坐，这也是一个全排列，有 3!=6 种排法。

综上所述，根据乘法原理，共有 20×24×2×6=5760 种排法。

原题是选择题，如何把答案写成原题选项中用阶乘和连乘表达的写法？

我们需要稍微分解一下因数：原式=20×24×2×6=5×4×4!×2×6=6×5×4!×4×2=6!×2×2×2，与(B)选项一致。

当然，我们还可以进一步用指数代替连乘，写成更具有迷惑性的 6!×2³。

【进一步分析】

假如安排座次的条件更苛刻一点，比方说，让同时是道家和法家的慎到，把来自道家的李耳和杨朱两人与来自法家的申不害分隔开。那么，他们四个人坐在一起的座次只有4种：

• 李耳、杨朱、慎到、申不害；
• 杨朱、李耳、慎到、申不害；
• 申不害、慎到、李耳、杨朱；
• 申不害、慎到、杨朱、李耳。

所以，如果要这样安排座次，就要把上文中的24换成4，即总共有 20×4×2×6=960 种排法。

用与上文类似的方法，改写成阶乘和连乘混合的表达式，即 20×4×2×6=5×4×3×2×4×2=5!×2×2×2=5!×2³。

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头图：Image by Erika Varga from Pixabay