让整体代换思想帮你解决数学疑难问题

整体代换思想是一种数学思想，它指的是，不要直接根据题给条件求解 $x$ 、 $y$ 之类的未知数，而是把题给条件完完整整地，或者稍作变形后，代入待求问题，求得答案。

此处试举三例初中数学问题来阐释。

【例 1】（2020 天津中考）已知 $x+y=69$ ，求 $(x-34)^{99}+(y-35)^{99}=$ _____

【解析】此处如果用高中阶段的二项式定理展开会陷入无法合并化简的困境。

我们需要观察已知条件与待求问题的联系，注意到 $34+35=69=x+y$ ，这样我们就把已知和待求联系到了一起，移项得 $y-35=34-x=-(x-34)$ 。

所以待求式 $=(x-34)^{99}+[-(x-34)]^{99}=(x-34)^{99}-(x-34)^{99}=0$ 。

【例 2】（美国初中奥赛）已知 $x^2+x+1=0$ ，求 $x^{49}+x^{50}+x^{51}+x^{52}+x^{53}=$ _____

【解析】显然 $x^2+x+1=0$ 没有实数根，如果用求根公式求出复数根再代入待求式来运算，将会十分麻烦。

观察已知条件与待求问题之间的联系，注意到 $x^{49}+x^{50}+x^{51}=x^{49}(x^2+x+1)=0$ （将题给条件完整代入），而 $x^{52}+x^{53}=x^{52}(1+x)=x^{52}\cdot(-x^2)=-x^{54}$ （将题给条件变形后代入），所以待求式化简为 $-x^{54}$ 。

再从已知条件入手，联想学过的数学知识，发现 $x^2+x+1$ 与平方差公式有关联，而且显然 $x$ 不是实数，所以， $x^2+x+1=0 ⇔ (x-1)(x^2+x+1)=0\ (x≠1) ⇔ x³=1\ (x≠1)$ 。所以，待求式 $=-x^{54}=-(x^3)^{18}=-1$ 。

【例 3】（2023 北京中考）若 $x^2-y^2=16$ ， $(x+y)^2=8$ ，求 $xy$ 的值。

【解析】已知条件是一个二元二次方程组，直接求解 $x$ 和 $y$ 相当麻烦。分析一下已知条件和待求结果，发现把题给条件中的完全平方式展开一下就会出现 $xy$ 。展开得到 $\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=16 &...(1) \\\\ x^2+2xy+y^2=8 &...(2) \end{array}\right.$ 。

尝试用加减消元法消去 $x^2$ 和 $y^2$ ，然后再提取公因式，我们找到了突破口。

$(1)+(2)$ 得， $2x^2+2xy=24 \Rightarrow x(x+y)=12\quad ...(3)$ 。

$(2)-(1)$ 得， $2y^2+2xy=-8 \Rightarrow y(x+y)=-4 \quad ...(4)$ 。

应用整体代换思想，两式相乘就出现了 $xy$ ，然后把 $(x+y)^2=8$ 代入，搞定。

$(3)\times(4)$ 得， $xy(x+y)^2=-48$ ，所以 $xy=\dfrac{-48}{(x+y)^2}=-6$ 。

总结：当根据题给条件求解 $x$ 、 $y$ 之类的未知数非常麻烦，或者计算量很大时，优先考虑整体代换思想寻找解题的捷径。

最后，举一个反套路的例子。命题人知道你懂整体代换思想，所以故意出了一道让你必须先把未知数计算出来的题，作为 520 的惊喜送给同学们…这就是数学老师的浪漫吧。

【反套路例题】（江苏丹阳中学高二月考）已知函数 $f(x)=\dfrac{2.02\times10^6+x+\sin x+2020^0-\lg 2-\lg 5}{2}$ 在区间 $[-520,520]$ 最大值和最小值分别为 $L,\ O$ ， $g(x)=\dfrac{2020^0+e^{\ln 520}+(-1)^3+x^3+\lg{\dfrac{2021-x}{2021+x}}}{2}$ 在 $[-2020,2020]$ 上的最大值和最小值分别为 $V,\ E$ ，则 $L+O+V+E=$ ____________。