积化和差公式试题一例

积化和差公式试题一例

已知 0<β<α<π2\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2},且 cos(α+β)=45\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}sin(αβ)=513\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\frac{5}{13},那么 cos2α=\cos2\alpha=(  )

A. 6365\displaystyle \frac{63}{65}  B. 6365\displaystyle -\frac{63}{65}  C. 3365\displaystyle \frac{33}{65}  D. 5665\displaystyle \frac{56}{65}1665\displaystyle -\frac{16}{65}


【分析】 首先分析题干与待求问题之间的联系,容易看出 2α=(α+β)+(αβ)2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)。那么我们怎样才能让 cos(α+β)\cos(\alpha+\beta)sin(αβ)\sin(\alpha-\beta) 函数括号里的角相加?可以考虑 积化和差公式

sin(α+β)sin(αβ)=cos2αcos2β2\displaystyle \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=-\frac{cos2\alpha-cos2\beta}{2}

cos(α+β)cos(αβ)=cos2α+cos2β2\displaystyle \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\frac{cos2\alpha+cos2\beta}{2}

这样,我们还得根据题给条件把 sin(α+β)\sin(\alpha+\beta)cos(αβ)\cos(\alpha-\beta) 求出来,代入上述两式,就可以解得 cos2α\cos2\alpha了。

【解】x=α+βx=\alpha+\betay=αβy=\alpha-\beta

则有 x+y=2αx+y=2\alphaxy=2βx-y=2\beta

因为 0<β<α<π2\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2} 而且 cosx>0\cos x>0,所以 0<x<π2\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}

又因为 siny>0\sin y>0,所以 0<y<π2\displaystyle 0<y<\frac{\pi}{2}

由三角函数平方关系式,

sinx=1cos2x=35\displaystyle \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\frac{3}{5}

cosy=1sin2y=1213\displaystyle \cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\frac{12}{13}

由积化和差公式,

sinxsiny=cos(x+y)cos(xy)2=1565\displaystyle \sin x\sin y=-\frac{\cos(x+y)-\cos(x-y)}{2}=\frac{15}{65}

cosxcosy=cos(x+y)+cos(xy)2=4865\displaystyle \cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}=\frac{48}{65}

联立上述两式,消去 cos(xy)\cos(x-y) ,解得 cos(x+y)=cos2α=3365\displaystyle \cos(x+y)=\cos2\alpha=\frac{33}{65}


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题图:自制。

头图:Image by peritas from Pixabay


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积化和差公式试题一例
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作者
Kukmoon谷月
发布于
2023年9月9日
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