复习专题:幂函数

复习专题:幂函数

我上高中时没学过幂函数,所以这次复习相当于从头开始学。

一、幂函数的定义

幂函数:形如 y=xαy=x^\alphaαR\alpha \in \mathbb{R})的函数叫作幂函数,其中 α\alpha 是常数,而且 xx 的系数是 1。

幂函数的指数 α\alpha 可以是正整数、正分数、0、负分数、负整数、无理数(高中阶段不讨论 α\alpha 为无理数的情形)。

二、必须掌握的幂函数

y=x3y=x^3y=x2y=x^2y=xy=xy=x12y=x^\frac{1}{2}y=x0y=x^0y=x1y=x^{-1}

必须掌握的幂函数

上述幂函数的共同性质:

  1. 都不过第四象限。因为它们都是单值函数,一个 xx 只对应一个 yy,既然过第一象限,就不会过第四象限。
  2. 必过点 (1,1)(1,1)。对于 y=f(x)=xαy=f(x)=x^\alpha,总有 y=f(1)=1α=1y=f(1)=1^\alpha=1
  3. α\alpha 对第一象限图像的影响。
    a. a>1a>1,单增,曲线,快-立式
    b. a=1a=1,单增,直线
    c. 0<a<10<a<1,单增,曲线,慢-趴式
    d. a=0a=0,没有单调性,与 xx 轴平行
    e. a<0a<0,单减
    f. 当 x>1x>1 时,α\alpha 越大,函数 xαx^\alpha 的图像(直线 x=1x=1 右侧的部分)越贴近直线 x=1x=1α\alpha 越小,函数 xαx^\alpha 的图像越贴近 xx 轴。
    α 对第一象限图象的影响
  4. x>0x>0 时,y=xαy=x^\alphay=x1αy=x^\frac{1}{\alpha} 互为反函数(α0\alpha \neq 0),其图像在第一象限关于直线 y=xy=x 对称。

三、分类讨论幂函数的性质与图象

指数 α\alpha 会影响幂函数的性质和图象,所以我们需要根据 α\alpha 的取值进一步分类讨论。考试做题时,也是要这样分类讨论。

3.1 α 对定义域的影响

y=xα=xnmy=x^{\alpha}=x^\frac{n}{m},其中 α, n, m>0\alpha,\ n,\ m>0,而且 nm\dfrac{n}{m} 是既约分数(无法再约分的分数)。如果 α\alpha 是整数,可看作 n=α, m=1n=\alpha,\ m=1

  1. 原点。
    a. α>0\alpha>0,定义域有 0,图象经过原点 (0,0)(0,0)
    b. α<0\alpha<0,定义域没有 0,图象不经过原点。原因是 xx 在分母上。
    c. α=0\alpha=0,定义域没有 0,图象不经过原点。原因是 000^0 无意义。

  2. 负数。(y=xα=xnmy=x^{\alpha}=x^\frac{n}{m})
    a. mm 为偶数,定义域无负数, 图象只经过第一象限。原因是开 mm 次方根,根号下不能为负数。
    b. mm 为奇数,定义域有负数, 图象经过 yy 轴左侧。原因是开 mm 次方根,根号下可以为奇数。

3.2 α 对第一象限单调性的影响

  1. α=0\alpha=0 ,无单调性,与坐标轴无交点。
  2. α>0\alpha>0,单增,经过原点。
    a. α>1\alpha>1,曲线,单增,快,立式
    b. α=1\alpha=1,直线 y=xy=x,单增
    c. 0<α<10<\alpha<1,曲线,单增,慢,趴式
  3. α<0\alpha<0,单减,与坐标轴无交点。

3.3 α 对奇偶性的影响

y=xα=xnmy=x^{\alpha}=x^\frac{n}{m},其中 α, n, m>0\alpha,\ n,\ m>0,而且 nm\dfrac{n}{m} 是既约分数(无法再约分的分数)。如果 α\alpha 是整数,可看作 n=α, m=1n=\alpha,\ m=1

  1. mmnn 都为奇数,则幂函数为奇函数。原因是 xx 要乘以奇数次幂再开奇数次方根,xx 的符号不变,导致 f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)
  2. mm 为奇数,nn 为偶数,则幂函数 yy 为偶函数。原因是 xx 要乘以偶数次幂再开奇数次方根,导致 f(x)=f(x)f(-x)=f(x)
  3. mm 为偶数,则幂函数 yy 为非奇非偶函数。原因是函数图像只经过第一象限。

幂函数整体的单调性,要由第一象限单调性和奇偶性共同决定(除非它只取到第一象限)。

四、一般幂函数图像的画法

  1. 先根据指数 α\alpha 判断第一象限单调性,
  2. 再根据指数 α\alpha 判断函数的定义域,能不能取到 0 或负数。
  3. 再根据指数 α=nm\alpha=\frac{n}{m} 判断函数的奇偶性,根据奇偶性补全函数的另一半。

五、幂函数大小的比较

5.1 比较大小

  1. 指数相同,底数不同,利用幂函数单调性比较大小。

  2. 底数相同,指数不同,利用指数函数单调性比较大小。

  3. 如果指数、底数都不相同,我们可以化为指数相同、化为底数相同、找中间量、画图。

5.2 求解不等式 f(x)α<g(x)αf(x)^\alpha<g(x)^\alpha 的基本思路

利用幂函数 y=xαy=x^\alpha 的性质转化为关于 f(x)f(x)g(x)g(x) 的不等式(组)求解。

图片版权

题图: 用 WolframAlpha 绘制

头图:https://pixabay.com/zh/photos/munich-olympic-stadium-tv-tower-2516492/

文中截图如果没有特别注明,都是来自“滴答课堂”


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作者
Kukmoon谷月
发布于
2024年1月20日
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