高一物理月考运动学试题就要用导数做吗？

（烟台一中 2024 年 9 月高一月考）一辆汽车以某一恒定的速度在平直公路上行驶，某时刻遇到紧急情况需要刹车，从该时刻起汽车的位置坐标 $x$ （单位：m）随时间 $t$ （单位：s）的变化关系为 $x=2+36t-4t^2$ ，下列说法正确的是：

A. 2 s 末汽车的速度为 28 m/s
B. 汽车前 2 s 内的平均速度为 29 m/s
C. 汽车前 5 s 内的位移为 80 m
D. 汽车第 5 s 内的位移大小为 1 m

【解】：本题的难点是汽车的坐标不是从 0 开始的，初始坐标 $x(0)=2$ 。所以我们不能套用教材的公式 $x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ ，而是应该给每个坐标补上初始坐标值，即 $x=2+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ ，而且要理解位移等于后一坐标与前一坐标之差，即 $s=x_2-x_1$ 。

A 选项有两种解法：待定系数法与导数法。

待定系数法，适合高一。刹车后汽车做匀减速运动，坐标 $x=2+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=2+36t-4t^2$ ，所以初速度 $v_0=36\ \text{m/s}$ ，加速度 $a=-8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ ，速度公式 $v=v_0+at=36-8t$ 。在 2 s 末，速度 $v=20\ \text{m/s}$ ，A 错。

导数法，适合高二、高三。刹车后汽车做匀减速运动，速度 $v(t)=x'(t)=36-8t$ ，在 2 s 末， $v(2)=(36-8 \times 2)\ \text{m/s} =20\ \text{m/s}$ ，A 错。

前 2 s 内的平均速度 $\Delta v=\dfrac{x(2)-x(0)}{2-0}=\dfrac{2+36 \times 2-4 \times 2^2-2}{2}\ \text{m/s}=28\ \text{m/s}$ ，B 错。

当速度为 0 时，汽车停下，位移最大，令 $v=36-8t=0$ ，解得 $t=4.5 \ \text{s}$ ，所以前 5 秒内的位移应该是 $x(4.5)-x(0)=(2+36 \times 4.5 - 4 \times 4.5^2-2) \ \text{m}=81\ \text{m}$ ，C 错。

由于汽车在 $t=4.5\ \text{s}$ 时停下，因此第 5 s 内的位移应该是 $x(4.5)-x(4)=(2+36 \times 4.5 - 4 \times 4.5^2-2-36 \times 4 + 4 \times 4^2) \ \text{m}=1\ \text{m}$ ，D 对。