一道高考数学不等式题的一题多解

一道高考数学不等式题的一题多解

有很多高考题至少有两种解法。其中一种比较容易想到,但是计算量比较大。另一种不太容易想到,但是计算量相对较小。这种题目的目的是,筛选计算功底扎实的考生,或者筛选数学思维优秀的考生。


例题】(2005 福建)设 a,bRa, b \in \mathrm{R}a2+2b2=6a^2+2b^2=6,则 a+ba+b 的最小值是____。

A. 22-2\sqrt{2}  B. 533-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}   C. 3-3   D. 72-\dfrac{7}{2}


解法 1:参数方程法】分析题给条件和待求结论,发现它们没有直接联系。从 a2+2b2=6a^2+2b^2=6 出发,我们首先想到椭圆的标准方程。这样可以把 aabb 视为椭圆上任一点的横纵坐标,对横纵坐标求和,可以用参数方程。这样就得到了思路:椭圆的参数方程。

a2+2b2=6a^2+2b^2=6 两边同除以 6,得 a26+b23=1\dfrac{a^2}{6}+\dfrac{b^2}{3}=1,显然这是个椭圆的标准方程,其参数方程是 {a=6cosθb=3sinθ\displaystyle \left\{\begin{array}{l} a=\sqrt{6}\cos\theta \\ b=\sqrt{3}\sin\theta \end{array}\right.,所以 a+b=6cosθ+3sinθ=3sin(θ+φ)[3,3]a+b= \sqrt{6}\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta=3\sin(\theta+\varphi)\in [-3,3],其中 tanφ=2\tan\varphi=\sqrt{2}。答案选 C。


解法 2:柯西不等式法】 分析题给条件和待求结论,发现它们没有直接联系。从 a2+2b2=6a^2+2b^2=6 出发,我们可以想到柯西不等式:(x12+y12)(x22+y22)(x1x2+y1y2)2(x_{1}^{2}+y _{1}^{2}) \cdot ( x_{2}^{2}+y _{2}^{2}) \geq (x_1x_2+y_1y_2)^2,当 x1y2=x2y1x_1y_2=x_2y_1 时取等号。

{x1=ay1=2b\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_1=a \\ y_1=\sqrt{2}b \end{array}\right.,又设 {x1x2=ay1y2=b\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_1x_2=a \\ y_1y_2=b \end{array}\right.,可解得 {x2=1y2=22\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_2=1 \\ y_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right.。 将上述变量代入柯西不等式,然后把不等式左右两边调换一下,得 (a+b)2(a2+2b2)(1+12)=9(a+b)^2 \leq (a^2+2b^2)(1+\dfrac{1}{2})=9,所以 3a+b3-3 \leq a+b \leq 3。答案选 C。


注意

  1. 因为题给条件有 a,bRa, b \in \mathrm{R},所以我们不需要死抠等号成立的条件,换句话说,等号肯定取得到。

  2. 由于 a,bRa, b \in \mathrm{R},换句话说 a,ba,b 可以取负值,但是使用基本不等式的前提是“一正二定三相等”,因此本题不能使用基本不等式。


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题图:"DALL·E 2022-07-16 19.02.34 - math professor, with a blackboard on the backward with equations and geometry figures, oil on wood in the style of Hyeronimus Bosch" by fdecomite is licensed under CC BY 2.0 .

头图:该图片由 Pete LinforthPixabay 上发布


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一道高考数学不等式题的一题多解
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作者
Kukmoon谷月
发布于
2023年11月10日
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