初中不讲,但高中必须掌握的乘法公式

初中不讲,但高中必须掌握的乘法公式

初中不讲,但高中必须掌握的乘法公式,大学高数也能用到。收藏起来先!

1. 八个基本乘法公式

  1. 平方差公式(这个初中讲过):a2b2=(a+b)(ab)\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)
  2. 完全平方和公式(这个初中也讲过):(a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
  3. 完全平方差公式(这个初中也讲过):(ab)2=a22ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
  4. 立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
  5. 立方差公式:a3b3=(ab)(a2+ab+b2)\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
  6. 三数和的平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)\displaystyle (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
  7. 两数和的立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
  8. 两数差的立方公式:(ab)3=a33a2b+3ab2b3\displaystyle (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

2. 两数之和、差、积、平方和的变换

在上述 8 个公式的基础上,在高中阶段,我们还要掌握 a+ba+baba-bababa2+b2a^2+b^2 的变换。这些变换可以用于配方、因式分解,结合韦达定理,可以用于讨论二次方程的根、讨论直线与圆锥曲线的交点。

  1. a+ba+b 的变换

(a+b)2=a2+b2+2ab(用a2+b2ab来表示)=(ab)2+4ab(用abab来表示)=2(a2+b2)(ab)2(用a2+b2ab来表示)\begin{split} (a+b)^2 & = a^2+b^2+2ab \qquad \text{(用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示)} \\ & = (a-b)^2+4ab \qquad \text{(用} \enspace a-b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示)} \\ & = 2(a^2+b^2)-(a-b)^2 \qquad \text{(用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示)} \end{split}

  1. aba-b 的变换

(ab)2=a2+b22ab(用a2+b2ab来表示)=(a+b)24ab(用a+bab来表示)=2(a2+b2)(a+b)2(用a2+b2a+b来表示)\begin{split} (a-b)^2 & = a^2+b^2-2ab \qquad \text{(用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示)} \\ & = (a+b)^2-4ab \qquad \text{(用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示)} \\ & = 2(a^2+b^2)-(a+b)^2 \qquad \text{(用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace a+b \enspace \text{来表示)} \end{split}

  1. a2+b2a^2+b^2 的变换

a2+b2=(a+b)22ab(用a+bab来表示)=(ab)2+2ab(用abab来表示)=(a+b)2+(ab)22(用a+bab来表示)\begin{split} a^2+b^2 & = (a+b)^2-2ab \qquad \text{(用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示)} \\ & =(a-b)^2+2ab \qquad \text{(用} \enspace a-b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示)} \\ & = \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2} \qquad \text{(用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示)} \end{split}

  1. abab 的变换

ab=(a+b)2(a2+b2)2(用a+ba2+b2来表示)=(a2+b2)(ab)22(用a2+b2ab来表示)=(a+b)2(ab)24(用a+bab来表示)\begin{split} ab & = \frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2} \qquad \text{(用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{来表示)} \\ & = \frac{(a^2+b^2)-(a-b)^2}{2} \qquad \text{(用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示)} \\ & = \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} \qquad \text{(用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示)} \end{split}

图片版权:

题图: "maths" by Sean MacEntee is licensed under CC BY 2.0 .

头图:Image by peritas from Pixabay


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初中不讲,但高中必须掌握的乘法公式
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作者
Kukmoon谷月
发布于
2023年9月1日
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